Análise numérica
Keywords: Análise numérica, Algoritmo, Análise Numérica, Aritmética, Erro de arredondamento, Esquema de Horner, Fenómeno de Runge, Interpolação, Interpolação polinomial, Lógica
A análise numérica é o ramo da matemática aplicada que estuda os métodos e algoritmos para encontrar soluções numéricas (aproximadas) para vários problemas matemáticos, usando para isso uma sequência finita de operações aritméticas e lógicas. A maior parte das soluções de problemas numéricos baseiam-se na teoria da álgebra linear.
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Áreas de estudo
O campo da análise numérica divide-se em várias disciplinas de acordo com o tipo de problemas a solucionar.
Cálculo de valores de funções
Um dos problemas mais simples é a avaliação de uma função num determinado ponto. Mas mesmo a avaliação de um polinómio não é sempre trivial: o esquema de Horner é muitas vezes mais eficiente do que o método óbvio. De forma geral, é importante estimar e controlar o erro de arredondamento que resulta do uso do método do ponto flutuante na aritmética.
Interpolação, extrapolação e regressão
A Interpolação é a solução do seguinte problema: dados os valores de uma função desconhecida em certos pontos, que valor é que a função tem em algum outro ponto situado entre os pontos conhecidos ? Um método muito simples é o uso da interpolação linear, que assume que a função desconhecida é linear entre cada par de pontos sucessivos. isto pode ser generalizado para a interpolação polinomial, que é por vezes mais concisa mas que sofre do fenómeno de Runge. Outros métodos de interpolação usam funções localizadas, tais como a spline e wavelet.
Extrapolação é muito semelhante à interpolação excepto em que agora pretendemos encontrar o valor da função desconhecida num ponto fora da zona conhecida.
Análise de regressão é algo de semelhante, mas leva em conta que os pontos são imprecisos. Dados certos pontos, e uma medida dos valores de alguma função nestes pontos (com um erro) queremos determinar a função desconhecida. O método dos mínimos quadrados é uma forma muito conhecida de obter isto.
Enigmas
Uma parte interessante da Análise Numérica é a que trata de Enigmas.
Por exemplo, qualquer número inteiro torna-se 123 se tratado da seguinte forma:
Imagine um número inteiro qualquer e escreva PP-II-TT, onde PP=total de dígitos pares, II=total de dígitos ímpares, TT=total de dígitos contidos no número imaginado.
Vamos ver o caso de 45834540569860. Existem 9 dígitos pares, logo PP=9. Existem 5 dígitos ímpares, então II=5 O total de dígitos é 14, TT=14 O novo número derivado do original será: 9514 (PP,II,TT) 9514 contém 1 par, 3 ímpares e 4 dígitos, gerando 134.
134 contém 1 par, 2 ímpares e 3 dígitos, gerando 123, que não se modifica mais. Isto se aplica a qualquer número inteiro, desde que respeitada a condição PP-II-TT.
Categoria:Análise numérica
categoria:matemática aplicada
categoria:álgebra linear