Conjunto

Keywords: Conjunto, Aleph, Cardinal, Conjunto finito, Família, Georg Cantor, Hiperconjunto, Lista, Matemática, Número algébrico

Em matemática, um conjunto é uma coleção de elementos. Não interessa a ordem e quantas vezes os elementos estão listados na coleção. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto.

Conteúdo
1 Introdução
2 Terminologia

2.1 Pertence ou não pertence
2.2 Subconjuntos próprios e impróprios
2.3 Conjunto vazio
2.4 União e Interseção
2.5 Cardinalidade
2.6 Conjunto potência ou de partes
2.7 Produto cartesiano

3 Exemplos de conjuntos compostos por números
4 Conceitos relacionados

Introdução

Conjuntos são um dos conceitos básicos da matemática. Um conjunto é apenas uma coleção de entidades, chamadas de elementos. A notação padrão lista os elementos separados por vírgulas entre colchetes como os seguintes exemplos:

{1, 2, 3}
{1, 2, 2, 1, 3, 2}
{x : x é um número inteiro tal que 0<x<4}

Os três exemplos acima são maneiras diferentes de representar o mesmo conjunto.

Como você pode ver, é possível descrever o mesmo conjunto de diferentes maneiras: listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos) ou definindo uma propriedade de seus elementos. Ou seja, dizemos que dois conjuntos são iguais se e somente se cada elemento de um é também elemento do outro, não importando a quantidade e nem a ordem das ocorrências dos elementos.

Terminologia

Imagem não encontrada
Conjunto_Matemático.png
Image:Conjunto_Matemático.png

Pertence ou não pertence

Se \,\! a é um elemento de A \,\!, nós podemos dizer que o elemento a \,\! pertence ao conjunto A \,\! e podemos escrever a \in A. Se a \,\! não é um elemento de A \,\!, nós podemos dizer que o elemento a \,\! não pertence ao conjunto A \,\! e podemos escrever a \not\in A.

Subconjuntos próprios e impróprios

Se A \,\! e B \,\! são conjuntos e todo o elemento x \,\! contido em A \,\! está também contido em B \,\!, então o conjunto A \,\! é dito um subconjunto do conjunto B \,\!, denotado por A \subseteq B. Note que esta definição inclui o caso em que A e B possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (A = B). Se A \subseteq B e ao menos um elemento pertencente a B \,\! não está contido em A \,\!, então A \,\! é chamado de subconjunto próprio de B \,\!, denotado por A \subset B. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por {} ou \emptyset. Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não pertence ao conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

União e Interseção

A união de dois conjuntos A \,\! e B \,\! é o conjunto A \cup B composto dos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos A \,\! e B \,\!.

A união de N conjuntos S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cdots \cup S_N = \cup_{i=1}^N S_i é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem ao menos a um dos grupos S_i \,\!.

A interseção de dois conjuntos A \,\! e B \,\! é o conjunto A \cap B composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos A \,\! e B \,\!.

A interseção de N conjuntos S = S_1 \cap S_2 \cap S_3 \cdots \cap S_N = \cap_{i=1}^N S_i é o conjunto formado pelos os elementos que pertencem a todos os grupos S_i \,\!.

Cardinalidade

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser \aleph_0 (aleph zero), \aleph_1, \aleph_2 ....

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto A é denotada por | A | . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então | A | = | B | .

Conjunto potência ou de partes

O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado A é chamado de conjunto potência (ou conjunto de partes) de A, denotado por P(A) ou 2A. O conjunto potência é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

O Teorema de Cantor estabelece que |A|\le|P(A)|.

Produto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

A \times B= \{(a,b) : a \in A \and b \in B\}

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

A + B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}.

Exemplos de conjuntos compostos por números

Nota: Nesta seção, a, b e c são números naturais, enquanto r e s são números reais.

  1. Números naturais são usados para contar. O símbolo \mathbb{N} usualmente representa este conjunto.
  2. Números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo \mathbb{Z} usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).
  3. Números racionais aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo \mathbb{Q} usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
  4. Números algébricos aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo \mathbb{A} ou \bar{\mathbb{Q}} usualmente representa este conjunto.
  5. Números reais incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo \mathbb{R} usualmente representa este conjunto.
  6. Números imaginários aparecem como soluções de equações como x 2 + r = 0 onde r > 0. O símbolo \mathbb{I} usualmente representa este conjunto.
  7. Números complexos é a soma dos números reais e dos imaginários: r + s\imath. Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos. O símbolo \mathbb{C} usualmente representa este conjunto.

Conceitos relacionados


categoria:Matemática

Keywords: Conjunto, Aleph, Cardinal, Conjunto finito, Família, Georg Cantor, Hiperconjunto, Lista, Matemática, Número algébrico