Espaço vetorial

Keywords: Espaço vetorial, Adição, Conjunto, Corpo (matemática), Grupo abeliano, Multiplicação, Números complexos, Números reais, Operação binária

Um dos conceitos básicos em algebra linear é o de espaço vetorial ou espaço linear.

A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, juntamento com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a idéia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto de elementos e duas operações definidas sobre os elementos deste conjunto, adição e multiplicação por números reais. A multiplicação por reais pode ser trocada ainda por algo mais geral como mostrado a seguir.

Não é necessário que os vetores tenham interpretação geométrica, mas podem ser quaisquer objetos que satisfaçam os axiomas abaixo. Polinômios de grau n formam um espaço vetorial, por exemplo, assim como grupos de matrizes NxM e o espaço de todas as funções de um conjunto em outro (com algumas condições adicionais).

Definição

Um espaço vetorial é uma entidade formada dos seguinte elementos:

Um corpo F, ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, elemento inverso, etc. Os números reais são um exemplo de corpo.
Um conjunto V dotado de uma operação binária (representada aqui pelo sinal +) de $V \times V \rightarrow V$ .
Uma operação . de $F \times V \rightarrow V$ .

As seguintes regras devem valer para que os elementos acima constituam um espaço vetorial:

(u+v)+w=u+(v+w) para todo u,v,w em V
u+v = v+u para todo u,v em V
Há um elemento O de V, tal que u+O=u para todo u em V
Para todo elemento v de V há um elemento u tal que v+u=O
a.(b.u)=(a.b).u para a,b em F e u em V
Se 1 é a unidade de F, 1.u=u para u em V
a.(u+v)= a.u+a.v para a em F u,v em V
(a+b).u= a.u+b.u para a,b em F e u em V

As definições de 1 a 4 mostram que com relação a operação de adição um espaço vetorial é um grupo abeliano.

O conceito de espaço vetorial (e os vetores como seus elementos) é inteiramente abstrato, como os conceitos de grupos, aneis, corpos, etc. Para determinar se um conjunto V é um espaço vetorial, temos apenas que especificar o conjunto, o corpo F, e definir adição e multiplicação por escalar em V. Então se V satisfizer as condições acima ele será um espaço vetorial sobre o corpo F.

Terminologia

Um espaço vetorial sobre R, o conjuntos dos números reais, é chamado espaço vetorial real.
Um espaço vetorial sobre C, o conjuntos dos números complexos, é chamado espaço vetorial complexo.
Um espaço vetorial com um conceito definido de comprimento, isto é uma norma definida, é chamado espaço vetorial normado.