Fatorial

Keywords: Fatorial, 1808, Cinco, Ciência da computação, Cálculo, Dois, Factorial, Indução matemática

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Conteúdo

1 Definição

2 Aplicações

3 Como Calcular Fatoriais

4 Logaritmo de Fatorial

5 Generalizations

5.1 The gamma function
5.2 Multifactorials
5.3 Hyperfactorials
5.4 Superfactorials
5.5 Superfactorials (alternative definition)

6 Prime factorization of factorials

7 See also

8 External links

Definição

A função fatorial é normalmente definida por:

$n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{para todo }n\ge0.$

Por exemplo,

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

Essa definição implica em particular que

0! = 1

porque o produto de nenhum número é 1 (ver produto vazio para uma descrição desse evento). Deve-se prestar atenção ao valor do produto vazio neste caso porque

ele faz com que a relação recursiva (n + 1)! = n!(n + 1) funcione para n = 1;

A função fatorial também pode ser definida (inclusive para não-inteiros) através da função gama:

$z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt$

A sequência dos fatorias Modèle:OEIS para n = 0, 1, 2,... começa com:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800,...

Aplicações

Fatoriais são importantes em análise combinatorial. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos em uma seqüência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidas é dado pelo coeficiente binomial

${n\choose k}={n!\over k!(n-k)!}.$

Fatoriais também aparecem em cálculo. Por exemplo, no teorema de Taylor, que expressa a função f(x) como uma série de série de potências em x. A razão principal é que o n derivativo de xⁿ é n!. Fatoriais também são usados extensamente na teoria da probabilidade.

Fatoriais também são frequentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, em ciência da computação, porque eles satisfazem as seguintes relações recursivas: (se n ≥ 1):

n! = n (n − 1)!

Como Calcular Fatoriais

O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicação repetida se n não for grande demais. É isso que calculadoras fazem. O maior fatorial que a maioria das calculadoras agüenta é 69!, porque 70! > 10¹⁰⁰.

Quando n é grande demais, n! pode ser calculado com uma boa precisão usando a aproximação de Stirling:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.$

Essa é uma versão simplificada que pode ser provada usando matemática básica de ensino secundário; a ferramenta essencial é a indução matemática. Ela é apresentada aqui na forma de um exercício:

$\left({n \over 3}\right)^n < n! < \left({n \over 2}\right)^n\ \mbox{if}\ n\geq 6.\,$

Logaritmo de Fatorial

O logaritmo de um fatorial pode ser usado para calcular o número de dígitos que a base de um fatorial irá ocupar. log n! pode ser facilmente calculado da seguinte maneira:

$\sum_{k=1}^n{\log k}$

Note que essa função, demonstrada graficamente, é quase linear para valores baixos; mas o fator ${\log n!} \over n$ cresce de maneira arbitrária, embora vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico seus primeiros 20 mil valores:

Imagem não encontrada
Log-factorial.PNG
Image:Log-factorial.PNG

Uma boa aproximação para log n! é fazer o logaritmo da aproximação de Stirling.

Generalizations

The gamma function

The related gamma function Γ(z) is defined for all complex numbers z except for the nonpositive integers (z = 0, −1, −2, −3, ...). It is related to factorials in that it satisfies a recursive relationship similar to that of the factorial function:

n! = n (n - 1)!

Γ(n + 1) = n Γ(n)

Together with the definition Γ(1) = 1 this yields the equation

$\Gamma(n+1)=n!\qquad\mbox{for all }n\in\mathbb{N},n\ge1.$

Because of this relationship, the gamma function is often thought of as a generalization of the factorial function to the domain of complex numbers. This is justified for the following reasons.

Shared meaning—The canonical definition of the factorial function is the mentioned recursive relationship, shared by both.
Uniqueness—The gamma function is the only function which satisfies the mentioned recursive relationship for the domain of complex numbers and is holomorphic and whose restriction to the positive real axis is log-convex. That is, it is the only function that could possibly be a generalization of the factorial function.
Context—The gamma function is generally used in a context similar to that of the factorials (but, of course, where a more general domain is of interest).

Multifactorials

A common related notation is to use multiple exclamation points to denote a multifactorial, the product of integers in steps of two (n!!), three (n!!!), or more.

n!! denotes the double factorial of n and is defined recursively by

$n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{if }n=0\mbox{ or }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{if }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.$

For example, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 and 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. The sequence of double factorials Modèle:OEIS for n = 0, 1, 2,... starts

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Some identities involving double factorials are:

n! = n!!(n - 1)!!

(2 n)!! = 2 n n!

$(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}$

$\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}$

One should be careful not to interpret n!! as the factorial of n!, which would be written (n!)! and is a much larger number (for n>2).

The double factorial is the most commonly used variant, but one can similarly define the triple factorial (n!!!) and so on. In general, the k-th factorial, denoted by n!^(k), is defined recursively as

$n!^{(k)}= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n<k; \\ n(n-k)!^{(k)},&&\mbox{if }n\ge k.\quad\ \ \, \end{matrix} \right.$

Hyperfactorials

Occasionally the hyperfactorial of n is considered. It is written as H(n) and defined by

$H(n) =\prod_{k=1}^n k^k =1^1\cdot2^2\cdot3^3\cdots(n-1)^{n-1}\cdot n^n$

For n = 1, 2, 3, 4,... the values of H(n) are 1, 4, 108, 27648,... Modèle:OEIS.

The hyperfactorial function is similar to the factorial, but produces larger numbers. The rate of growth of this function, however, is not much larger than a regular factorial.

Superfactorials

Neil Sloane and Simon Plouffe defined the superfactorial in 1995 as the product of the first n factorials. So the superfactorial of 4 is

sf(4)=1!*2!*3!*4!=288.

In general

$\mathrm{sf}(n) =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.$

The sequence of superfactorials starts (from n=0) as

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... Modèle:OEIS

This idea can easily be extended to the superduperfactorial as the product of the first n superfactorials, starting (from n=0) as

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... Modèle:OEIS

and thus recursively to any multiple-level factorial where the mth-level factorial of n is the product of the first n (m-1)th-level factorials, i.e.

$\mathrm{mf}(n,m) = \mathrm{mf}(n-1,m)\mathrm{mf}(n,m-1) =\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}$

where $mf(n,0) = n$ for $n > 0$ and $mf(0, m) = 1$ .

Superfactorials (alternative definition)

Clifford Pickover in his 1995 book Keys to Infinity defined the superfactorial of n, written as n$ (the $ should really be a factorial sign ! with an S superimposed) as

n $ = n (4) n

where the ⁽⁴⁾ notation denotes the hyper4 operator, or using Knuth's up-arrow notation,

$n$=(n!)\uparrow\uparrow(n!)$

This sequence of superfactorials starts:

1$ = 1

2$ = 2 2 = 4

$3$=6\uparrow\uparrow6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}}$

Prime factorization of factorials

The power of p occurring in the prime factorization of n! is

$\sum_{i=1}^{\infty} \lfloor n/p^i \rfloor$

This formula allows large factorials to be factored efficiently? I don't think so.

External links

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