Grupo (matemática)
Keywords: Grupo (matemática), Associatividade, Axioma, Conjunto, Estrutura algébrica, Evariste Galois, Matemática, Operação binária
Em matemática, grupo é um conjunto com uma operação binária que satisfaz certos axiomas, dados abaixo. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros é um grupo com relação à operação de adição.
O ramo da matemática que estuda os grupos é chamado de Teoria de grupos. A origem histórica da Teoria de grupos remonta ao trabalho de Evariste Galois (1830), e ao estudo de equações algébricas e suas soluções.
Grupos estão por trás de muitas estruturas algébricas, como corpos e campos vetoriais, e são uma importante ferramenta para o estudo de simetrias. Por estas razões, a Teoria de Grupos é considerada uma área importante da matemática moderna, e tem muitas aplicações em Física Matemática, por exemplo em física de partículas.
Definição
Em matemática, grupo é um conjunto não-vazio G com uma operação * definida para seus elementos (por exemplo, a, b, c) que obedece aos quatro seguintes axiomas:
- Associatividade: (a * b) * c = a * (b * c);
- Existência da identidade: Existe um elemento e em G tal que e * a = a * e = a.
- Existência do inverso: Para todo a existe um b tal que a * b = b * a = e, onde e é a identidade.
- Fechamento: a * b pertence a G.
A ordem de um grupo |G| é a cardinalidade de G.
Este último axioma na verdade não é requerido, uma vez que pode ser derivado da operação binária exigida na definição do grupo, isto é, a operação binária de *: GxG -> G, já tem em sua definição a exigência de fechamento. No entanto, ao se tentar determinar se * é uma operação de grupo, temos que verificar o fechamento. Isto é parte da verificação se * é uma operação binária.
Grupo (matemática)