Número primo

Keywords: Número primo, Cinco, Dezanove, Dezassete, Divisor, Dois, Número natural, Onze, Quarenta e três, Quarenta e um

Número primo é um número natural maior que 1 e que tem exatamente dois divisores positivos distintos: 1 e ele mesmo. Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é composto. Por convenção, os números 0 e 1 não são primos nem compostos.

O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número inteiro positivo pode ser escrito univocamente como o produto de vários números primos (chamados factores primos). Ao processo que recebe como argumento um número e devolve os seus factores primos chama-se decomposição em fatores primos.

Colocando os números primos por ordem crescente temos que os primeiros elementos são:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...

Exemplos de decomposições:

4 = 2 × 2
6 = 2 × 3
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5

Teorema dos números primos

Sabe-se que, à medida que avançamos na seqüência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:

O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
Dado um número natural $n$ , qual é a proporção de números primos entre os números menores que $n$ ?

A resposta a primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, já que dada a seqüência dos primos $p_1, p_2, p_3, \ldots$ podemos sempre construir um novo primo pela fórmula:

\prod p i + 1 i

onde $\prod$ denota o produtório.

A resposta para a segunda pergunta é que essa proporção é aproximadamente $1:ln(n)$ , onde $ln$ é o logaritmo natural.

Grupos e sequências de números primos

São conhecidos dois grupos de números primos:

do tipo:

(4n+1) - podem sempre ser escritos na forma (

x 2 + y 2

)

(4n-1) - nunca podem ser escritos na forma (

x 2 + y 2

)

Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo:

31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 são primos

mas

333.333.331 não é: (333.333.331 = 17 x 19.607.843)

Links Externos

Prime curios at the prime pages
The prime pages -- http://www.utm.edu/research/primes/
MacTutor history of prime numbers
The "PRIMES is in P" FAQ
The first 20,000 primes (through 224737) at Wikisource
Lista dos maiores números provavelmente primos
The prime puzzles
The Prime Project gera um número primo cada vez que a página é acessada
Uma tradução para o inglês da demonstração de Euclides da infinitude dos primos
Primes from WIMS is an online prime generator.
Prime Factorization Worksheet generates new questions every time the page is loaded
Prime Spiral pattern
12 digit primes Known 12-digit prime factors of Googolplex - 1
[An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier]

categoria:matemática

∏	p_i + 1
i