Operação binária

Keywords: Operação binária, Adição, Aritmética, Composição de funções, Corpos (matemática), Divisão, Função (matemática), Funções binárias, Matemática, Multiplicação

Em matemática, uma operação binária é uma operação que usa duas entradas e fornece um valor de saída. Exemplos de operações binárias são as operações da aritmética, como adição, subtração, divisão e multiplicação.

Operações binárias são fundamentais no estudo de Anéis, Corpos e Domínios de integridade.

Um operação binária é um caso especial de funções binárias

Definição

Dado um conjunto S, uma operação binária é uma função (matemática) do conjunto criado pelo produto cartesiano de S no próprio S:

$f : S \times S \rightarrow S$

Como f toma seus valores no próprio S temos então uma propriedade de fechamento em S.

Operações binárias são a base do estudo de estruturas algébricas em álgebra abstrata, sendo parte de grupos, monoides, semigrupos, aneis e muito mais. Em algebra abstrata, por exemplo, um magma (grupoid) é definido como um conjunto e uma operação binária, sem que nenhuma outra exigência seja feita sobre a operação binária.

Operações binárias são normalmente escritas de uma forma diferente da esperado da definição de função, isto é, f(a, b) = c. No caso das operações de adição, multiplicação etc. a notação é utilizada com o símbolo da função entre os operandos $a + b$ (operador infixo) e não $+ (a, b)$ (operador prefixo).

Muitas operações binárias de interesse são comutativas ou associativas. Muitas tem também um elemento identidade ou elemento inverso. Uma operação binária é comutativa se o resultado da operação independe da ordem dos elementos escolhidos. Mais formalmente, uma operação f é comutiva se:

$\forall x, y \in S \rightarrow f(x,y)=f(y,x)$

Um elemento do conjunto S é chamado de elemento neutro se a operação nele e qualquer outro elemento x de S resultar no próprio elemento x:

$\forall x, e \in S \rightarrow f(x,e)=f(e,x)=x \quad \forall x \in S$

Usando a definição acima é fácil mostrar que o elemento neutro é único. Basta supor que existam dois elementos neutros.

Uma operação binária é 'associativa ' se a ordem em que aplicamos a operação sobre 3 elementos consecutivamente não alterar o resultado. Formalmente, temos, um operação binária é associativa se:

$\forall x, y, x \in S \rightarrow f(x,f(y,z))=f(f(x,y),z)$

Se a operação binária tiver um elemento neutro e, podemos então procurar por um elemento inverso de um elemento x tal que:

$\forall x, y \in S \rightarrow f(x,y)= e$

Exemplos

As operações usuais de da aritmética (+), (*), etc.
Composição de funções em um mesmo conjunto (Em $f \circ g$ a primeira operação toma um elemento deS e leva em outro que é então operado por f para obter o resultado, portanto, dois elementos de entrada levando em um).
Produto vetorial no $\mathbb{R}^3$

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