Pitágoras

Keywords: Pitágoras, 496 a.C., 570 a.C.

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Pitágoras (do Grego: Πυθαγόρας) foi um filósofo grego que nasceu em Samos pelos anos de 571 a.C. e 570 a.C. e morreu provavelmente em 497 a. C. ou 496 a.C. em Metaponto.

A sua biografia está envolta em lendas. Diz-se que o nome signfica altar da Pítia ou o que foi anunciado pela Pítia, pois sua mãe ao consultar a pitonisa soube que a criança seria um ser excepcional.

Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega chamada em sua homenagem de pitagórica.

Conteúdo

1 A escola de Pitágoras

2 Biografia

3 Principais descobertas

3.1 Números triangulares e números quadrados
3.2 Números perfeitos
3.3 Um teorema que vale 100 bois

4 Importância para o Direito

A escola de Pitágoras

Segundo o pitagorismo, a essência, que é o princípio fundamental que forma todas as coisas é o número. Os pitagóricos não distinguem forma, lei, e substância, considerando o número o elo entre estes elementos.

Assim, Pitágoras e os pitagóricos investigaram as relações matemáticas e descobriram vários fundamentos da física e da matemática.

Pitágoras descobriu em que proporções uma corda deve ser dividida para a obtenção das notas musicais dó, ré, mi, etc.

O seu nome está ligado principalmente ao importante teorema que afirma: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Além disto, os pitagóricos acreditavam na esfericidade da Terra e dos corpos celestes, e na rotação da Terra, com o que explicavam a alternância de dias e noites.

A escola pitagórica era conectada com concepções esotéricas e a moral pitagórica enfatizava o conceito de harmonia, práticas ascéticas e defendia a metempsicose.

Durante o século IV a.C., verificou-se, no mundo grego, uma revivescência da vida religiosa. Segundo alguns historiadores, um dos fatores que concorreram para esse fenômeno foi a linha política adotada pelos tiranos: para garantir seu papel de líderes populares e para enfraquecer a antiga aristocracia, os tiranos favoreciam a expansão de cultos populares ou estrangeiros. Dentre destes cultos, um teve enorme difusão: o de Dioniso, originário da Trácia, e que era uma religião essencialmente esotérica.

Os seguidores desta doutrina acreditavam na imortalidade da alma, ou seja, enquanto o corpo se degenerava, a sua alma migrava para outro corpo, por várias vezes, a fim de efetivar sua purificação. Dioniso guiaria este ciclo de reencarnações, podendo ajudar o homem a libertar-se dele.

Pitágoras seguia uma doutrina diferente. Teria chegado à concepção de que todas as coisas são números e o processo de libertação da alma seria resultante de um esforço basicamente intelectual. A purificação resultaria de um trabalho intelectual, que descobre a estrutura numérica das coisas e torna, assim, a alma como uma unidade harmônica.

Biografia

Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como referentes a suas viagens e a seus contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o Filósofo e matemático grego nasceu no ano de 571 a.C. ou 570 a.C. na cidade de Samos, fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônia grega na península itálica), cujos princípios foram determinantes para evolução geral da matemática e da filosofia ocidental cujo principais enfoques eram: harmonia matemática, doutrina dos números e dualismo cósmico essencial.

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Pitágoras cunhado em moeda

Os pitagóricos (seguidores da escola Pitagórica) interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números - para eles o número (sinônimo de harmonia) era considerado como essência das coisas - é constituído então da soma de pares e ímpares , noções opostas (limitado e ilimitado) respectivamente números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação, criando a teoria da harmonia das esferas (o cosmos é regido por relações matemáticas).

A observação dos astros sugeriu-lhes a idéia de que uma ordem domina o universo. Evidencia disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas, por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contem as idéias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre seu eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou de seus discípulos (já que há obscuridades que cerca o pitagorismo devido ao caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo.

Foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu provavelmente em 497 a. C. ou 496 a.C..

Principais descobertas

Apesar de todo o misticismo, os pitagóricos eram grandes matemáticos. Eles descobriram propriedades interessantes e curiosas sobre os números.

Números triangulares e números quadrados

Número triangulares: Esses números formam triângulos equiláteros. Assim,

1	3	6	10
°	° ° °	° ° ° ° ° °	° ° ° ° ° ° ° ° ° °

Seja $T n$ o n-ésimo número triangular. Então,

$T 1 = 1$

$T 2 = 2 + 1 = 3$

$T 3 = 3 + (2 + 1) = 6$

$T 4 = 4 + (3 + 2 + 1) = 10$

$\ldots$

$T_n = T_{n-1} + n = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

Números quadrados: Esses número formam quadrados perfeitos. Então,

1	4	9	16
°	° ° ° °	° ° ° ° ° ° ° ° °	° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° °

Seja $Q n$ o n-ésimo número quadrado. Então,

$Q 1 = 1$

$Q 2 = 4$

$Q 3 = 9$

$Q 4 = 16$

$\ldots$

$Q n = n 2$

Assim, podemos determinar uma relação entre os números triangulares e os números quadrados. A soma de dois números triângures consecutivos formam um número quadrado:

$T 2 + T 1 = Q 2$

$T 3 + T 2 = Q 3$

$T 4 + T 3 = Q 4$

$\ldots$

Resumindo temos:

$Q n = T n + T n - 1 = n + 2 T n - 1$

Números perfeitos

A soma dos divisores de determinado número com exceção dele mesmo, é o próprio número. Exemplos:

Os divisores de 6 são: $1,2,3$ e $6$ . Então, $1 + 2 + 3 = 6$ .
Os divisores de 28 são: $1,2,4,7,14$ e $28$ . Então, $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$ .

Mas o que de fato deu fama aos pitagóricos foi a demonstração de um teorema, provavelmente o mais famoso da história da Matemática: O Teorema de Pitágoras que diz "Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos."

Um teorema que vale 100 bois

Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Conta a lenda que, como prova de gratidão por ter demonstrado esse teorema, Pitágoras sacrificou 100 bois aos deuses. Durante séculos, os matemáticos questionaram: "Qual a demonstração feita por Pitágoras?". Hoje, parece não existir mais dúvidas de que o matemático grego seguiu os passos que vamos mostrar:

Desenhamos um quadrado de lado $a + b$ ;
Traçamos dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
Dividimos cada um destes dois retângulos em dois triângulos retos, traçando as diagonais. Chamamos de C a medida de cada diagonal;
A área da região formada quando se tiram os quatro triângulos retos é igual a $a 2 + b 2$ ;
Agora desenhamos o mesmo quadrado de lado $a + b$ , mas colocamos os quatros triângulos retos em outra posição.

Portanto, a área da região formada quando tiram os quatros triângulos retos é igual a: $c 2$

Foi assim que Pitágoras chegou a conclusão de que: $a 2 + b 2 = c 2$

O segmento de medida c foi chamado de hipotenusa e os de medida a e b foram chamados de catetos. Outros matemáticos, muito antes de Pitágoras, conheciam o teorema. Mas nenhum deles, até então, havia conseguido demonstrar que ele era valido para qualquer triângulo reto. Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o Teorema de Pitágoras. Aos longo dos séculos, foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cuja a resolução tem como base este famoso teorema.

O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1:
$12 + 1 2 = x 2$
$x 2 = 2$

Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente: "o número que multiplicado por si mesmo é 2". A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais.

Importância para o Direito

Pitágoras foi o primeiro filósofo a criar uma definição que quantificava o objetivo final do Direito: A Justiça. Ele definiu que um ato justo seria a chamada Justiça Aritimética, na qual cada indivíduo deveria receber uma punição ou ganho quantitativamente igual ao ato cometido. Tal argumento foi refutado por Aristóteles, pois ele acreditava em uma Justiça Geométrica, na qual cada indivíduo receberia uma punição ou ganho qualitativamente, ou proporcionalmente, ao ato cometido; ou seja, ser desigual para com os desiguais a fim de que estes sejam igualados com o resto da sociedade.

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Este artigo pertence à série Filósofos Pré-socráticos

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