Polinómio

Keywords: Polinómio, Análise numérica, Equação quadrática, Espaço vectorial, Funções lineares, Gerolamo Cardano, Interpolação polinomial, Matemática, Niels Henrik Abel, Números complexos

Em matemática, funções polinomiais ou polinómios são uma classe importante de funções simples e infinitamente diferenciáveis. Devido à natureza da sua estrutura, os polinómios são muito simples de se avaliar e por consequência são usados extensivamente em análise numérica.

Conteúdo

1 História

2 Definição

3 Notas

4 Tópicos de interesse

História

Determinar as raízes de polinómios, ou "resolver equações algébricas", é um dos problemas mais antigos da matemática. Alguns polinómios, tais como $f (x) = x 2 + 1$ , não possuem raízes dentro do conjunto dos números reais. Se, no entanto, o conjunto de candidatos possíveis for expandido ao conjunto dos números imaginários, ou seja, se se passar a tomar em conta o conjunto dos números complexos, então todo o polinómio (não-constante) possui pelo menos uma raiz (teorema fundamental da álgebra).

Existe uma diferença entre a aproximação de raízes e a determinação de fórmulas concretas que as definem. Fórmulas para a determinação de raízes de polinómios de grau até ao 4º são conhecidas desde o século XVI (ver equação quadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Mas fórmulas para o 5º grau têm vindo a escapar aos investigadores já há algum tempo. Em 1824, Niels Henrik Abel provou que não pode haver uma fórmula geral (envolvendo apenas as operações aritméticas e radicais) para a determinação de raízes de polinómios de grau igual ou superior ao 5º em termos de coeficientes (ver teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcou o início da teoria de Galois, onde se aplica a um estudo detalhado das relações entre raízes de polinómios.

Definição

Para a sucessão de termos $a_0,...,a_n \in \mathbb{R}$ (ou $\mathbb{C}$ ) com $a n >$ diferente de zero, um polinómio de grau n (ou também função racional inteira) é uma função que possui a forma

$f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... . a_1 x + a_0\,$ ,com $a_n\,$ diferente de 0

Alternativamente, o polinómio pode ser escrito recorrendo à notação sigma

$f(x)=\sum_{v=0}^n a_v x^v\,$

Os elementos $a 0,..., a n$ são denominados de coeficientes do polinómio e o termo $a 0$ de coeficiente constante.

Cada elemento somado $a n x n$ do polinómio é denomidado por termo. Um polinómio com um, dois ou três termos é chamado de monómio, binómio ou trinómio respectivamente.

Em relação ao grau, os polinómios de:

grau 0 são chamados de funções constantes,
grau 1 são chamados de funções lineares caso $a 0 = 0$ e funções afins caso $a_0 \ne 0$ ,
grau 2 são chamados de funções quadráticas,
grau 3 são chamados de funções cúbicas,

A raiz (ou zero) de um polinómio $f (x)$ é um valor de $x$ tal que $f (x) = 0$ .

Notas

Os polinómios até o o grau n formam um espaço vectorial que é normalmente denominado por Π_n. Neste artigo os polinómios foram representados a partir de uma base monomial (ex.: $1, x, x 2,..., x n$ ) mas deve ser notado que qualquer outra sequência polinomial pode ser usada como base, como por exemplo os polinómios de Chebyshev.

Tópicos de interesse

sequência polinomial
polinómios de Chebyshev
polinómio de Hermite
polinómios de Legendre
interpolação polinomial

Keywords: Polinómio, Análise numérica, Equação quadrática, Espaço vectorial, Funções lineares, Gerolamo Cardano, Interpolação polinomial, Matemática, Niels Henrik Abel, Números complexos