Produto vetorial

Keywords: Produto vetorial, Cálculo vetorial, Espaço vetorial, Física, Matemática, Matriz, Momento angular, Operação binária, Produto escalar

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Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Pode ser denominado também como produto externo. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais.

Conteúdo

1 Definição

2 Propriedades

2.1 Significado geométrico
2.2 Propriedades algébricas
2.3 Fórmula de Lagrange
2.4 Notação Matricial

3 Aplicações

4 Higher dimensions

5 Veja também

Definição

A notacão do produto vetorial entre dois vetores a e b é a × b (em manuscritos, alguns matemáticos escrevem a ∧ b para evitar a confusão com a letra x). Podemos defini-lo como

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf\hat{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \theta$

onde θ é a medida do ângulo entre a e b (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido pelos dois vetores, e n é o vetor unitário perpendicular a tanto a quanto b.

O problema com esta definição é que existem dois vetores unitários que são perpendiculares à a e b simultaneamente: se n é perpendicular, então −n também o é.

O parágrafo seguinte está tecnicamente correto, mas os termos devem ser revisados

O resultado correto depende da orientação do espaço vetorial, i.e. da chirality do sistema de coordenadas (i, j, k). O produto vetorial a × b é definido de tal forma que (a, b, a × b) se torna destro se (i, j, k) é destro ou canhoto se (i, j, k) é canhoto.

Uma forma fácil de calcular a direção do vetor resultante é a "regra da mão direita". Se um sistema de coordenadas é destro, basta apontar o indicador na direção do primeiro operando e o dedo médio na direção do segundo operando. Desta forma, o vetor resultante é dado pela direção do polegar.

Como o produto vetorial depende do sistema de coordenadas, seu resultado é referenciado como pseudovetor. Felizmente na natureza os produtos vetoriais aparecem aos pares, de maneira que a orientação do sistema de coordenadas é cancelado pelo segundo produto vetorial.

O produto vetorial pode ser representado graficamente, com respeito à um sistema de coordenadas destro, como se segue:

Imagem não encontrada
Crossproduct.png
Image:crossproduct.png

Propriedades

Significado geométrico

O comprimento do produto vetorial, |a × b|, pode ser interpretado como a área do paralelograma definido pelos vetores a e b. Isto significa que o produto triplo resulta no volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c.

Propriedades algébricas

O produto vetorial é anticomutativo,

a × b = -b × a,

distributivo sobre a adição,

a × (b + c) = a × b + a × c,

e compatível com a multiplicação escalar, tal que

(ra) × b = a × (rb) = r(a × b).

Não é associativo, mas satisfaz a identidade de Jacobi:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

A distributividade, linearidade e identidade de Jacobi mostram que R³ junto com a adição de vetores e o produto vetorial formam uma álgebra de Lie.

Além disso, dois vetores não nulos a e b são paralelos iif a × b = 0.

Fórmula de Lagrange

Esta é uma fórmula útil e bem conhecida,

a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b),

a qual é mais fácil de memorizar como “BAC menos CAB”. Esta fórmula é muito útil para simplificar cálculos com vetores na física. É importante notar, entretanto, que esta fórmula não aplica-se quando do uso do operador nabla.

Um caso especial com respeito a gradiente em cálculo vetorial é:

$\begin{matrix} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) &=& \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\ &=& \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} ) - \mbox{laplacian } \mathbf{f}. \end{matrix}$

Este é um caso especial da mais geral decomposição Hodge $\Delta = d \partial + \partial d$ do Laplaciano Hodge.

Outra identidade útil de Lagrange é

$|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2.$

Este é um caso especial da multiplicatividade $| v w | = | v | | w |$ da norma na álgebra de quaternion.

Para referência, deixo o parágrafo original em inglês para quem faça idéia do que ele quer dizer:

This is a special case of the multiplicativity $| v w | = | v | | w |$ of the norm in the quaternion algebra.

Notação Matricial

O vetor unitário i, j e k para uma dado sistema ortogonal de coordenadas satisfaz as seguintes igualdades:

i × j = k j × k = i k × i = j

Com estas regras, as coordenadas do resultado do produto vetorial de dois vetores pode ser calculado facilmente, sem a necessidade de determinar-se qualquer ângulo. Seja:

a = a₁i + a₂j + a₃k = [a₁, a₂, a₃]

b = b₁i + b₂j + b₃k = [b₁, b₂, b₃].

Então

a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁].

A notação acima também pode ser escrita formalmente como o determinante de uma matriz:

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}$

O determinante de três vetores pode ser recuperado como

det (a, b, c) = a · (b × c).

Intuitivamente, o produto vetorial pode ser descrito pelo método de Sarrus, onde

$\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} & \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}$

Para os primeiros três vetores unitários, multiplique os elementos na diagonal da direita (ex. a primeira diagonal conteria i, a₂, e b₃). Para os três últimos vetores unitários, multiplique os elementos na diagonal da esquerda e então os multiplique por -1 (ex. a última diagonal conteria k, a₂, e b₁). O produto vetorial seria definido pela soma destes produtos:

$\mathbf{i}(a_2b_3) + \mathbf{j}(a_3b_1) + \mathbf{k}(a_1b_2) - \mathbf{i}(a_3b_2) - \mathbf{j}(a_1b_3) - \mathbf{k}(a_2b_1)$

The cross product can also be described in terms of quaternions. Notice for instance that the above given cross product relations among i, j, and k agree with the multiplicative relations among the quaternions i, j, and k. In general, if we represent a vector [a₁, a₂, a₃] as the quaternion a₁i + a₂j + a₃k, we obtain the cross product of two vectors by taking their product as quaternions and deleting the real part of the result (the real part will be the negative of the dot product of the two vectors). More about the connection between quaternion multiplication, vector operations and geometry can be found at quaternions and spatial rotation.

Aplicações

O produto vetorial ocorre na fórmula do operador vetorial curl. É também utilizado para descrever a Força de Lorentz experimentada por uma carga elétrica movendo-se em um campo magnético. As definições de torque e momento angular também envolvem produto vetorial.

O produto vetorial pode também ser utilizado para calcular a normal à um triângulo ou polígono.

Higher dimensions

A cross product for 7-dimensional vectors can be obtained in the same way by using the octonions instead of the quaternions.

This 7-dimensional cross product has the following properties in common with the usual 3-dimensional cross product:

It is bilinear in the sense that

x × (ay + bz) = ax × y + bx × z

(ay + bz) × x = ay × x + bz × x.

It is anticommutative:

x × y + y × x = 0

It is perpendicular to both x and y:

x · (x × y) = y · (x × y) = 0

We have

|x × y|² = |x|² |y|² − (x · y)².

Unlike the 3-dimensional cross product, it does not however satisfy the Jacobi identity (equality would hold in 3 dimensions):

x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x × y) ≠ 0

In general dimension, there is no direct analogue of the cross product. There is however the wedge product, which has similar properties, except that the wedge product of two vectors is now a 2-vector instead of an ordinary vector. The cross product can be interpreted as the wedge product in three dimensions after using Hodge duality to identify 2-vectors with vectors.

The wedge product and dot product can be combined to form the Clifford product.

Veja também

Produto escalar
Regra da mão direita
Avaliando produtos vetoriais