Raiz quadrada

Keywords: Raiz quadrada, Algoritmo, Calculadora, Derivada, Equação quadrática, Função (matemática), Infinito, Latim, Logaritmo natural

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O primeiro uso do símbolo da raiz quadrada remonta ao século XVI. Pensa-se que a sua origem está na letra r minúscula, primeira letra de radix (em latim, raiz).

Conteúdo

1 Propriedades

2 Computação de raízes quadradas

2.1 Calculadoras
2.2 Método babilônio
2.3 Um algoritmo exato semelhante ao da divisão longa
2.4 Pell's equation
2.5 Encontrando Raízes quadradas usando aritmética mental
2.6 Continued fraction methods

3 Square roots of complex numbers

4 Raízes quadradas de matrizes e operadores

5 Raiz quadrada dos 20 primeiros números inteiros positivos

Propriedades

As seguintes propriedades da função raiz quadrada são válidas para todos os números reais positivos x e y:

$\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}$

$\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

$\sqrt{x^2} = \left|x\right|$ para todo o número real x (ver valor absoluto)

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

A aplicação da função raiz quadrada a um número racional dá em geral origem a um número algébrico; √x é racional se e somente se x puder ser representado por uma razão entre dois quadrados perfeitos. Por exemplo, √2 é irracional.

Geometricamente, a função raiz quadrada trasforma a área de um quadrado no comprimento do seu lado.

Admita-se que x e a são reais, e que 'x² = a, e que se quer determinar x. Um erro frequente é aplicar a função raiz quadrada e concluir que x = √a. Tal não é verdade uma vez que a raiz quadrada de de x² não é x, mas sim o seu valor absoluto |x| (uma das regras acima mencionadas). Portanto, apenas se pode concluir que |x| = √a, ou, de outra forma, que x = ±√a.

Quando se pretende provar que a função raiz quadrada é contínua ou diferenciável, ou no cálculo de certos limites, a seguinte propriedade é de grande utilidade:

$\sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{x-y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$

Tal é válido para quaisquer x e y não negativos, sendo pelo menos um deles diferente de zero.

A função f(x) = √x tem o seguinte gráfico:

Imagem não encontrada
Função_raiz_quadrada.png
Image:Função_raiz_quadrada.png

A função é contínua para todo o x não negativo, e diferenciável para todo o x positivo. (não é diferenciável para x = 0 uma vez que o declive da tangente à curva nesse ponto é +∞. A sua derivada é dada por

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}$

As séries de Taylor para x = 1 podem ser encontradas usando o teorema binomial:

$\sqrt{x+1}=1 + \sum_{n=1}^\infty { (-1)^{n+1} (2n-2)! \over n! (n-1)! 2^{2n-1} }x^n$

$= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \dots$

para |x| < 1.

Computação de raízes quadradas

Calculadoras

As calculadoras portáteis tipicamente implementam boas rotinas para computar a função exponencial e o logaritmo natural, e elas computam a raiz quadrada de x usando a identidade: $\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2}\ln x}$ A mesma identidade é explorada quando computamos raízes quadradas com tábuas de logaritmos ou réguas de cálculo.

Método babilônio

Um algoritmo frequentemente usado para aproximar √x é conhecido como "método babilônio" e é baseado no Método de Newton. Processa-se como a seguir:

Inicie com um número positivo arbitrário r (preferencialmente próximo da raiz);
Substitua r pela média de r e x/r;
Repita o segundo passo para obter uma aproximação melhor.

Este algoritmo é quadraticamente convergente, que signfica que o número de dígitos corretos de r dobra a cada repetição.

This algorithm works equally well in the p-adic numbers, but cannot be used to identify real square roots with p-adic square roots; it is easy, for example, to construct a sequence of rational numbers by this method which converges to +3 in the reals, but to -3 in the 2-adics.

Um algoritmo exato semelhante ao da divisão longa

Este método, apesar de muito mais lento que o método Babilônio, tem a vantagem de ser exato: dado um número que tem uma raíz quadrada cuja representação decimal termina, então o algoritmo termina e produz a raiz quadrada correta após um número finito de passos. Ele pode ser usado, portanto, para checar se um dado número é um quadrado perfeito.

Escreva o número em decimal e divida-o em pares de digitos, começando do ponto. Os números são colocados de uma maneira similar ao algoritmo de divisão longa e a raíz quadrada final aparecerá acima do número original.

For each iteration:

Bring down the most significant pair of digits not yet used and append them to any remainder. This is the current value referred to in steps 2 and 3.
If $r$ denotes the part of the result found so far, determine the greatest digit $x$ that does not make $y = x (20 r + x)$ exceed the current value. Place the new digit $x$ on the quotient line.
Subtract $y$ from the current value to form a new remainder.
If the remainder is zero and there are no more digits to bring down the algorithm has terminated. Otherwise continue with step 1.

Example: What is the square root of 152.2756?

       ____1__2._3__4_
        |  01 52.27 56                        1
 x         01                   1*1=1         1
          ____                                __
           00 52                              22
 2x        00 44                22*2=44        2
          _______                             ___
              08 27                           243
 24x          07 29             243*3=729       3
             _______                          ____
                 98 56                        2464
 246x            98 56          2464*4=9856      4
                _______
                 00 00          Algorithm terminates: answer is 12.34

Although demonstrated here for base 10 numbers, the procedure works for any base, including base 2. In the description above, 20 means double the number base used, in the case of binary this would really be 100. The algorithm is in fact much easier to perform in base 2, as in every step only the two digits 0 and 1 have to be tested. See Shifting nth-root algorithm.

Pell's equation

Pell's equation yields a method for finding rational approximations of square roots of integers.

Encontrando Raízes quadradas usando aritmética mental

Baseado na Equação de Pell's este é um método para obter a Raiz quadrada simplesmente subtraindo números ímpares.

Ex: Para obter $\sqrt{27}$ nós começamos com a seguinte sequência:

$27 - 1 = 26$
$26 - 3 = 23$
$23 - 5 = 18$
$18 - 7 = 11$
$11 - 9 = 2$

5 passos foram tomados e isso nos leva q a parte inteira da raiz quadrada de 27 é 5.

$2\times 100 = 200$ e $5\times 20 + 1 = 101$

$200 - 101 = 99$

O próximo número é 1.

$99\times 100 = 9900$ e $51\times 20 + 1 = 1021$

$9900 - 1021 = 8879$
$8879 - 1023 = 7856$
$7856 - 1025 = 6831$
$6831 - 1027 = 5804$
$5804 - 1029 = 4775$
$4775 - 1031 = 3744$
$3744 - 1033 = 2711$
$2711 - 1035 = 1676$
$1676 - 1037 = 639$

O próximo número é 9.

O resultado nos dá 5.19 com uma aproximação da raiz quadrada de 27.

Continued fraction methods

Quadratic irrationals, that is numbers involving square roots in the form (a+√b)/c, have periodic continued fractions. This makes them easy to calculate recursively given the period. For example, to calculate √2, we make use of the fact that √2-1 = [0;2,2,2,2,2,...], and use the recurrence relation

a_n+1=1/(2+a_n) with a₀=0

to obtain √2-1 to some specific precision specified through n levels of recurrence, and add 1 to the result to obtain √2.

Square roots of complex numbers

Para todo número complexo z não-nulo existem exatamente dois números w tais que w² = z. A definição usual de √z é como segue: se z = r exp(iφ) é representado em coordenadas polares com -π < φ ≤ π, então fazemos √z = √r exp(iφ/2). Isto definido, a função raíz quadrada é holomórfica em todo ponto exceto nos números não-positivos reais (onde ela não é nem contínua). The above Taylor series for √(1+x) remains valid for complex numbers x with |x| < 1.

When the number is in rectangular form the following formula can be used:

$\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| + x}{2}} \pm i \sqrt{\frac{\left|x+iy\right| - x}{2}}$

where the sign of the imaginary part of the root is the same as the sign of the imaginary part of the original number.

Note that because of the discontinuous nature of the square root function in the complex plane, the law √(zw) = √(z)√(w) is in general not true. Wrongly assuming this law underlies several faulty "proofs", for instance the following one showing that -1 = 1:

$-1 = i \times i = \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = \sqrt{-1 \times -1} = \sqrt{1} = 1$

The third equality cannot be justified. (See invalid proof.)

However the law can only be wrong up to a factor -1, √(zw) = ±√(z)√(w), is true for either ± as + or as - (but not both at the same time). Note that √(c²) = ±c, therefore √(a²b²) = ±ab and therefore √(zw) = ±√(z)√(w), using a = √(z) and b = √(w).

Raízes quadradas de matrizes e operadores

Se A é uma matriz positiva definida ou um operador, então existe exatamente uma matriz positiva definida ou operador B tal que B² = A; definimos √A = B.

Mais genericamente, para cada matriz ou operador normal A existem operadores normais B tais que B² = A. Em geral, há vários operadores B para cada A e a função raíz quadrada não pode ser definida para operadores normais de uma maneira satisfatória. Positive definite operators are akin to positive real numbers, and normal operators are akin to complex numbers.

Raiz quadrada dos 20 primeiros números inteiros positivos

√ 1 = 1
√ 2 ≈1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
√ 3 ≈1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
√ 4 = 2
√ 5 ≈2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
√ 6 ≈2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
√ 7 ≈2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
√ 8 ≈2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
√ 9 = 3
√10 ≈3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
√11 ≈3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
√12 ≈3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
√13 ≈3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
√14 ≈3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
√15 ≈3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
√16 = 4
√17 ≈4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
√18 ≈4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
√19 ≈4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
√20 ≈4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276