Relatividade geral

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Einstein, autor da teoria da relatividade, em 11 de fevereiro de 1948

Em Física, relatividade geral é a generalização da Teoria da gravitação de Newton publicada em 1915 por Albert Einstein. A nova teoria leva em consideração as idéias descobertas na Relatividade restrita sobre o espaço e o tempo e propõe a generalização do princípio da relatividade do movimento de referenciais em movimento uniforme para a relatividade do movimento mesmo entre referenciais em movimento acelerado. Esta generalização tem implicações profundas no nosso conhecimento do espaço tempo, levando entre outras conclusões à de que a matéria (energia) curva o espaço e o tempo à sua volta. Isto é a gravitação é um efeito da geometria do espaço-tempo.

Conteúdo

1 O Princípio da Relatividade geral

2 Introdução

3 A ligação com a geometria

4 Geometria do Espaço-tempo

5 Matemática da Relatividade Geral

6 Soluções da Equação de Einstein

7 Referências

O Princípio da Relatividade geral

O postulado base da Teoria da Relatividade geral especifica que sistemas acelerados e sistemas submetidos a campos gravitacionais são fisicamente equivalentes. Nas próprias palavras de Einstein em seu trabalho de 1915:

Nós iremos portanto assumir a completa equivalência física entre um campo gravitacional e a correspondente aceleração de um sistema de referência. Esta hipótese estende o princípio da relatividade especial para sistemas de referência uniformemente acelerados.

Por este princípio, uma pessoa em uma sala fechada, acelerada por um foguete com a mesma aceleração que a da gravidade na Terra ( $9,79 m / s 2$ ) não poderia descobrir se a força que a prende ao chão tem origem no campo gravitacional terrestre ou se é devida à aceleração da própria sala através do espaço e vice-versa. Um pessoa em uma sala em órbita ou queda livre em direção a um planeta não saberá dizer por observação local se se encontra em órbita de um planeta ou no espaço profundo, longe de qualquer corpo celeste.

Isto implica também, e este é o ponto importante do princípio acima, que a massa que sofre os efeitos do campo gravitacional e a massa que aparece nas leis de movimento de Newton são a mesma constante. Isto pode parecer óbvio a princípio, mas note-se que a massa nas leis de Newton é a que responde a forças gerais e é responsável pela inércia ao movimento. Por isso, é chamada de massa inercial. A outra massa, que aparece na lei da gravitação, se acopla com outras massas gravitacionais para criar a atração gravitacional. Elas não têm que ser a mesma, mas são, e isto é um resultado experimental. O princípio da Relatividade Geral tem, portanto, como conseqüência outro príncipio: o princípio de equivalência entre massa gravitacional e inercial.

Introdução

Uma das descobertas mais importantes do século XX, feita por Einstein, é a de que podemos apresentar os efeitos da gravitação na forma de uma geometria quadrimensional.

A primeira descoberta nesta direção, feita por Minkowski baseando-se no trabalho de Einstein sobre a Relatividade restrita, foi a de que espaço e tempo são na verdade uma única entidade que chamamos hoje de espaço-tempo.

Das idéias que levaram à Relatividade restrita, sem dúvida a mais importante para se entender o papel da gravitação na Física é a idéia, chamada de princípio de relatividade restrita, de que as leis da física devem ser escritas da mesma forma em referenciais em movimento uniforme relativo. Este princípio deve ser obedecido por qualquer lei da física que pretenda ser uma representação fiel de alguma parcela da realidade.

Einstein supôs que a gravidade, devido ao princípio da equivalência entre massa inercial e gravitacional, seria um tipo de força inercial, isto é, do tipo que aparece em sistemas não inerciais (em movimento acelerado), como por exemplo a força centrífuga em um carrossel.

Com esta idéia em mente e generalizando a idéia da Relatividade restrita, Einstein propôs que:

'As leis da física devem ser escritas da mesma forma em qualquer sistema de coordenadas, em movimento uniforme ou não.

É por esta via da invariância sob mudança de coordenadas generalizadas que a gravitação se acopla a todas as outras Teorias da Física.

Este é o conceito mais importante da Teoria. Dizer que uma sala em queda livre, um laboratório em órbita da Terra ou em uma nave no espaço interestelar são referenciais equivalentes pode parecer estranho. Mas nestes referenciais nem você, nem nenhum objeto, está submetido a forças externas. Nem mesmo à força da gravidade. Quando se está em queda livre, não somos puxados pela gravidade, uma vez que no ambiente em queda livre nenhum objeto se move se não for aplicada alguma força sobre ele, e esta é exatamente a definição de um referencial inercial. Chamamos estes ambientes de ambientes de gravidade zero e são muito mais comuns hoje em dia do que se pode imaginar (veja um exemplo de ambiente em gravidade zero no clipe, e no making of, da canção Todo o Universo[1] de Lulu Santos, ou se quiser realmente experimentar na pele as idéias desta Teoria veja [2]). Todos estes exemplos devem ser considerados localmente como referenciais inerciais.

Laboratórios em órbita ou em queda livre são o que temos na Terra de mais próximo de um referencial inercial ideal. Portanto, se for necessário realizar um experimento em um local livre de forças externas, há duas opções na Terra: entrar em um avião, subir até algumas dezenas de quilômetros de altura e deixar-se cair em queda livre (dentro de um avião, num voo parabólico, de forma a não sofrer atrito do ar), ou usar uma estação espacial em órbita. O Postulado da Relatividade Geral é exatamente a formulação da idéia de que nestes referenciais, ou em qualquer outro no espaço profundo, longe de quaisquer corpos celestes, as leis da física devem ser as mesmas e devem ser escritas da mesma forma.

A ligação com a geometria

Como dissemos anteriormente, dentro do postulado da relatividade geral todos os referenciais físicos são localmente equivalentes. Entender por que frisamos o termo localmente é simples. Dissemos que um observador em órbita ou no espaço profundo não tem como decidir por experimentação local se seu referencial é inercial ou não. Mas se permitirmos analisar o espaço ao seu redor é óbvio que diferenças aparecerão. No primeiro caso, o observador, analisando ao seu redor, perceberá rapidamente que está em órbita de algum corpo, pois seu movimento não é retilíneo nem uniforme com relação às estrelas. O segundo poderá concluir que ele está em movimento retilíneo uniforme com relação às estrelas ao fundo. thumb|Geódesica no espaço-tempo de uma partícula parada em um ponto do plano x-y

O ponto importante é que o movimento natural detectado por um observador difere do observado por outro, apesar de localmente eles concordarem em relação ao tipo de referencial em que se encontram. Esta idéia de movimento natural (que não causa o aparecimento de forças externas no referencial local) é representada matematicamente pelo conceito de geodésica, isto é, a menor distância entre dois pontos em uma geometria qualquer. Por outras palavras, se seu movimento é uma geodésica, localmente seu referencial é inercial e, vice-versa: se localmente seu referencial é inercial seu movimento deverá ser um geodésica.

Podemos concluir, portanto, que, uma vez que as geodésicas são diferentes, as geometrias do espaço-tempo nos dois casos são diferentes. E como o que difere de um caso para o outro é a presença de uma massa próxima, chegamos à conclusão que a diferença na geometria deve ser causada pela massa. Em outras palavras, a massa de um corpo altera a geometria do espaço-tempo ao seu redor. Espaço-tempo aqui é mesmo o conceito da Relatividade restrita onde cada ponto do espaço-tempo é descrito por 4 coordenadas: 3 de posição e uma de tempo. Uma geodésica no espaço-tempo é uma curva especial descrita por estes 4 números.

A idéia importante para se entender a fundo os conceitos básicos da relatividade geral é entender o que significa o movimento de um corpo neste espaço-tempo de 4 dimensões. Não existe movimento espacial sem movimento temporal. Isto é, no espaço-tempo não é possível a um corpo se mover nas dimensões espaciais sem se deslocar no tempo. Mas mesmo quando não nos movemos espacialmente, estamos nos movendo na dimensão temporal (no tempo). Mesmo sentados em nossa cadeira lendo este artigo, estamos nos movendo no tempo, para o futuro. Este movimento é tão válido na geometria do espaço-tempo quanto os que estamos habituados a ver em nosso dia a dia. Portanto, no espaço-tempo estamos sempre em movimento!, e a nossa idéia de estar parado significa apenas que encontramos uma forma de não nos deslocarmos nas direções espaciais mas apenas no tempo (veja o exemplo deste tipo de geodésica na figura ao lado). thumb|Geódesica no espaço-tempo de uma partícula próxima a um corpo material

Imaginemos agora um observador no espaço profundo. Suponha que ele esteja parado, isto é, em um movimento geodésico que é uma linha reta diretamente para o futuro. Se agora colocarmos instantaneamente ao seu lado uma massa suficientemente grande, a deformação que esta massa causará no espaço-tempo em sua vizinhança irá curvar e alterar as coordenadas originais do espaço-tempo no local. O efeito é que aquele movimento que era apenas uma linha reta na direção temporal agora passará a ocorrer também nas novas coordenadas espaciais. A linha se curva e se enrola em torno do corpo enquanto ele se move na direção do tempo futuro. E nosso observador começa a se mover espacialmente devido à distorção da geometria causada pela massa, não devido à presença de uma força. Isto era o efeito que se costuma chamar de gravidade mas que, à luz desta teoria, é uma distorção da geometria do espaço-tempo devido à presença de uma massa.

Note que é comum representar a curvatura do espaço-tempo com figuras que representam uma membrana elástica formando poços criados por massas pesadas sobre essa membrana. Esta representação é, no mínimo, fantasiosa, pois mostra apenas a curvatura espacial de um espaço de duas dimensões, sem levar em consideração o efeito do tempo. Dificilmente a podemos considerar uma boa representação do que realmente acontece. O exemplo apresentado aqui nos fornece uma forma de ver a curvatura através de efeitos sobre as linhas geodésicas. Em cada ponto do espaço disparamos ou apenas soltamos uma pequena massa de prova e observamos a sua trajetória. De um ponto de seu referencial inercial dispare uma massa em cada um dos seus eixos de coordenadas espaciais e observe: obviamente, se elas continuarem indefinidamente em linha reta, você estará em um espaço-tempo plano (espaço de Minkowski). Caso contrário, as trajetórias poderão lhe dar informações sobre a curvatura na região. Esta é a melhor maneira pela qual podemos esperar descrever um objeto que possui 4 dimensões para seres que vivem em apenas 3 dimensões.

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Uma representação fantasiosa da curvatura do espaço-tempo causada por uma massa

Geometria do Espaço-tempo

Precisamos esclarecer um ponto do parágrafo anterior, que mencionamos de passagem, mas que teve conseqüências importantíssimas. Dissemos que no espaço-tempo não é possível a um objeto se mover nas direções espaciais sem se mover também no tempo. O motivo é simples: no plano espacial, se um objeto se desloca de um ponto ao outro sem se deslocar na direção temporal, a velocidade deste deslocamento será infinita, já que a velocidade é o deslocamento pelo intervalo de tempo, que neste caso seria zero. E da Teoria da Relatividade especial sabe-se que a maior velocidade possível para algo material, no nosso universo, é a velocidade da luz. Portanto este postulado da Relatividade especial cria imediatamente no nosso espaço-tempo duas regiões distintas: uma região a que podemos ter acesso, e regiões às quais não podemos ter acesso imediato. Isto é uma característica diferente de um espaço de 4 dimensões quaisquer, por exemplo, onde não temos restrição alguma entre as regiões do espaço, nem uma direção especial.

A relatividade restrita, portanto, impõe sobre a geometria do espaço-tempo uma restrição fundamental e diversa do que esperaríamos de um espaço euclidiano de quatro dimensões, por exemplo. Esta diferença ir-se-á refletir na estrutura básica da geometria.

Podemos mostrar como estas diferenças se refletem na noção de distância, que na Relatividade Especial é chamada de intervalo, para não evocar a mesma idéia de distância euclidiana. Se quisermos medir a distância entre dois pontos em um espaço de 3 dimensões, usamos o fórmula de Pitágoras:

s 2 = (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 + (z 1 - z 2) 2

Incluindo o tempo para termos o espaço-tempo, poderíamos imaginar uma fórmula equivalente para a distância entre dois pontos:

s 2 = c 2 (t 1 - t 2) 2 + (x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 + (z 1 - z 2) 2

Note que tivemos o cuidado de multiplicar o termo temporal por c, a velocidade da luz no vácuo, para termos um comprimento, uma vez que não faz sentido somar tempo com distância. Para pontos muito próximos (lembre-se temos que manter nossa análise local para podermos garantir que estamos em um referencial inercial) podemos escrever.

$\Delta s^2 = c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 = c^2 (\Delta t)^2 + (\Delta \vec{x} )^2$

Mas isto não reflete a característica essencial do espaço-tempo que estamos discutindo. A distância acima é simplesmente a distância em espaço euclidiano de 4 dimensões. O que sabemos é que as velocidades espaciais possíveis são sempre menores que a velocidade da luz:

$\left| \frac{d}{dt} \vec{x} \right| \leq c$

E isto, de certa forma, deve ser refletido pela geometria que estamos procurando. E está, como iremos demonstrar. Elevando ao quadrado para eliminar o módulo acima, e reorganizando os termos, podemos escrever nossa restrição como:

$(d \vec{x} )^2 \leq c^2 dt^2$

Repare que a expressão acima é o equivalente matemático do que acabamos de dizer: deslocamentos espaciais válidos devem ser menores que c dt para que a velocidade do deslocamento seja menor que a da luz. Comparando esta expressão com a da distância em um espaço euclidiano, dada acima, vemos uma semelhança. Podemos entender agora que o termo ds :

$ds^2 = c^2 dt^2 - d \vec{x}^2 \geq 0$

pode ser utilizado como definição para o cálculo de intervalos no espaço-tempo.

Para completar, precisamos agora entender como esta medida de intervalos pode ser generalizada para um sistema de coordenadas qualquer.

Matemática da Relatividade Geral

Para estender as leis da física para o contexto de sistemas de coordenadas gerais, um extenso arsenal de ferramentas matemáticas deve ser dominado. Mesmo antes do advento da Relatividade Geral, na mecânica clássica, por exemplo, uma quantidade enorme de trabalhos foram desenvolvidos para se trabalharem os sistemas físicos em diversos sistemas de coordenadas: sistemas de coordenadas cartesianos, esféricas, cilíndricas, etc. Apesar dos nomes, nenhum destes sistemas de coordenadas utilizados na Física Matemática é geral o bastante para causar alteração na geometria. Eles são formas de se aproveitarem as simetrias do problema e ajudam, portanto, a simplificar a solução. Na Relatividade Geral precisamos estender este conhecimento para transformações de coordenadas que alterem a geometria do espaço-tempo. Para isto são necessárias uma síntese e uma generalização deste conhecimento matemático em um novo cálculo, o Cálculo Tensorial. Por sorte, esta síntese estava sendo criada pelo matemático Tullio Levi-Civita, baseando-se nos trabalhos anteriores de Hamilton e Gregorio Ricci-Curbastro, na mesma época em que Einstein iniciou seu trabalho na Relatividade Geral. De fato, Einstein aprendeu os conceitos diretamente de Levi-Civitta.

Com esta ferramenta nova, podemos generalizar o conceito de cálculo de intervalos do espaço-tempo, introduzindo o tensor métrico para o espaço-tempo:

$\frac{}{} ds^2 = g_{ij} dx^i dx^j$

A notação com índices, chamada notação clássica do cálculo tensorial, possui a convenção de que índices repetidos, um superior e outro inferior, representam uma soma no conjunto de índices. No nosso caso estes índices variam de 0 até 3 para representar o tempo (índice 0), e as coordenadas espaciais. Esta é a mesma expressão que obtivemos anteriormente se escrevermos o tensor $\frac{}{} g_{ij}$ de forma matricial como:

$g= \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}$

O ponto importante a se entender aqui é que, no espaço-tempo curvo, o tensor métrico não possui mais seus elementos constantes como acima. Eles passam a ser funções das coordenadas espaço-temporais que contêm informações sobre a geometria local. Mesmo assim, a expressão para o cálculo de intervalos ainda continua sendo escrita da mesma forma. E isto reflete a idéia básica do cálculo tensorial: permitir escrever quaisquer equações independentemente do sistema de coordenadas utilizado.

O Tensor métrico é a peça fundamental da teoria da Relatividade Geral e é um tensor simétrico, isto é $g i j = g j i$ . Isto significa que em vez de termos 16 componentes $g i j$ , temos apenas 10 componentes independentes.

O tensor métrico possui informações não só sobre como se calculam as distâncias, mas como se realizam outras operações geométricas em espaços curvos, como o transporte paralelo de vetores e outros objetos matemáticos. É através dele que se obtém a expressão para a curvatura do espaço-tempo e se obtém o Tensor de Einstein, utilizado na equação da Relatividade Geral, que sumariza a interação da geometria com a matéria:

$G_{ij} = R_{ij} - {R \over 2} g_{ij} + \Lambda g_{ij} = {8 \pi G \over c^4} T_{ij}$

onde $G i j$ é o tensor de Einstein, $R i j$ são as componentes do Tensor de curvatura de Ricci, $R$ é a Curvatura escalar, $g i j$ são as componentes do tensor métrico, $Λ$ é a Constante cosmológica, $T i j$ são as componentes do Tensor de tensão-energia que descreve a matéria e energia em um dado ponto do espaço-tempo e $G$ é a Constante de gravitação, a mesma da lei de Newton da gravidade. O Tensor de Ricci e a Curvatura Escalar são derivados do tensor métrico, como dito acima.

Soluções da Equação de Einstein

A primeira solução exata para a equação de Einstein foi proposta por Karl Schwarzschild na chamada Métrica de Schwarzschild, e é a solução para o caso de uma massa esférica estacionária, isto é, sem rotação da massa. Esta foi também a primeira solução na qual se obtiveram buracos negros como parte do resultado.

Soluções da equação de Einstein são obtidas a partir de uma determinada métrica. Propor uma métrica correta é uma parte importante e difícil do problema. Estas são algumas das soluções conhecidas da Equação de Einstein:

Métrica de Schwarzschild.
Métrica de Kerr, que descreve o caso de uma massa girante esférica.
Métrica de Reissner-Nordstrom, para o caso de uma métrica esférica com carga elétrica.
Métrica de Kerr-Newman, para o caso de um massa girante com carga elétrica.
Métrica Friedmann-Robertson-Walker (FRW), usada em cosmologia como modelo de um universo em expansão.
Métrica de ondas-pp que descreve vários tipos de ondas gravitacionais.
Métrica de Wormholes, ou buracos de minhoca, usada para descrever viagens no tempo.

As soluções (1), (2), (3) e (4) incluem buracos negros como parte do resultado.

Referências

Museu de Sobral no Ceará[3]. Local da comprovação do desvio da luz pela massa do sol, como é previsto na relatividade geral.

Buracos Negros [4] página em inglês.