Teoria de anéis

Keywords: Teoria de anéis, 1921, Adição, Anel (álgebra), Associatividade, Comutatividade, David Hilbert, Estrutura algébrica, Grupo abeliano, Matemática

Em matemática, a teoria de anéis é o estudo de anéis, isto é, estruturas algébricas com duas operações binárias, por exemplo adição ( $+$ ) e multiplicação ( $\cdot$ ), e que possuem propriedades similares às dos inteiros.

História

O estudo de anéis originou-se da teoria de anéis de polinômios e da teoria de inteiros algébricos. Richard Dedekind foi quem introduziu o conceito de anel.

O termo anel (Zahlring) foi criado por David Hilbert no artigo Die Theorie der algebraischen Zahlkörper, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereiningung, Vol. 4, 1897.

A primeira definição axiomática de anéis foi dada por Adolf Fraenkel em um ensaio no Journal für die reine und angewandte Mathematik (A. L. Crelle), vol. 145, 1914.

Em 1921, Emmy Noether criou a primeira fundação axiomática da teoria de anéis comutativos em seu monumental trabalho Ideal Theory in Rings.

Definição

Dado um conjunto S e duas operações binárias, dizemos que a estrutura algébrica $(S,+,\cdot )$ forma um anel se:

A operação de adição ( $+$ ) é comutativa
A operação de adição é associativa
Existe um elemento neutro na adição, chamado de 0
Existe um elemento inverso para a adição, escrito como $- x$
A operação de multiplicação ( $\cdot$ ) é associativa
A operação de multiplicação se distribui sobre a adição: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\quad \forall a,b,c \in S$ (distributividade)

Um anel que também possua um elemento neutro com relação à multiplicação é chamado de anel com unidade

Um anel é chamado anel sem divisores de zero se:

$\forall a,b \in S \quad a \cdot b = 0 \rightarrow a=0\ ou\ b=0$

Note que a estrutura $(S, + )$ que satisfaz às condições de 1 a 4 forma um grupo abeliano

Exemplos

A última frase sobre divisores de zero acima pode parecer muito óbvia se o único exemplo que conhecermos de anel for algo próximo aos números inteiros. No entanto, a definição é válida para qualquer conjunto, portanto o conjunto de matrizes reais 2x2, juntamente com as operações de adição e multiplicação de matrizes usuais, fornece um exemplo de anel com divisor de zero

unidade $1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

zero $0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

divisor de zero: seja $a = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ e $b = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , da multiplicação de matrizes temos $a\cdot b = 0$ , mas nem a ou b são iguais a zero.

Categoria: Álgebra

Keywords: Teoria de anéis, 1921, Adição, Anel (álgebra), Associatividade, Comutatividade, David Hilbert, Estrutura algébrica, Grupo abeliano, Matemática