Teoria dos conjuntos
Keywords: Teoria dos conjuntos, 1638, 1845, 1874, 1918, Alfabeto grego, Antinomia, Argumento de diagonalização de Cantor
Teoria dos conjuntos é a teoria matemática que trata das propriedades dos conjuntos. Ela tem sua origem nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor (1845-1918), e se baseia na idéia de definir conjunto como uma noção primitiva. Também chamada de teoria ingênua ou intuitiva devido à descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) relacionadas com a definição de conjunto. Estas antinomias na teoria dos conjuntos conduziram a matemática a axiomatizar as teorias matemáticas, com influências profundas sobre a lógica e os fundamentos da matemática.
| Conteúdo |
Origem
A teoria teve seu início com a publicação em 1874 de um trabalho de Cantor que tratava sobre a comparação de coleções infinitas. O trabalho apresentava uma forma de comparar conjuntos infinitos pelo "casamento" 1-1 entre os elementos destes conjuntos.
Desde 1638, com Galileu Galilei, sabe-se que se pode obter uma correspondência 1-1 entre os números inteiros e seus quadrados, o que violava a concepção euclidiana de que o todo é sempre maior que qualquer uma de suas partes.
Esta aplicação da correspondência 1-1 permitiu a Cantor introduzir um método de diagonalização, que por contradição, permitia provar que o conjunto dos números reais não tinha correspondência 1-1 com o conjunto dos números inteiros. Isto, mais tarde, levou ao desenvolvimento do conceito de contínuo por Richard Dedekind.
Iniciando com estas descobertas, Cantor acabou desenvolvendo uma teoria dos conjuntos abstratos, que constitui-se em uma generalização do conceito de conjunto.
Antinômias ou paradoxos
Um interessante e famoso paradoxo usando a teoria dos conjuntos foi criado por Bertrand Russell. Consiste em definir o conjunto de todos os conjuntos que não pertencem a si próprios. O paradoxo aparece quando nos perguntamos se este conjunto assim definido, ele próprio pertence a si próprio. Uma versão mais leiga do paradoxo foi proposta pelo próprio Russell, no que ficou conhecido como Paradoxo do Barbeiro. O paradoxo é construído supondo que o barbeiro é o homem da cidade que barbeia os homens que não se barbeiam a si próprios. O paradoxo é facilmente obtido ao se perguntar se o barbeiro se barbeia a si próprio.
Estas antinomias estão relacionadas com problemas profundos da lógica do final do século XIX, que conduziram a uma série de resultados importantes de lógica, como o trabalho de Kurt Gödel sobre a consistência dos sistemas formais.
Influências
Além da sua influência no desenvolvimento da lógica, a teoria dos conjuntos também exerceu influência profunda no desenvolvimento da matemática do século XX, servindo de base para a teoria das funções de variável real, álgebra, topologia, teoria dos grupos e análise funcional.
Sua influência extendeu-se também para a forma moderna como se ensina matemática para crianças (chamada, no Brasil, de matemática moderna), toda baseada na idéia de números como conjuntos.
Conjunto
- Ver artigo principal: Conjunto
Na teoria dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção de objetos bem definidos. Estes objetos são chamados de elementos ou membros do conjunto. Os objetos podem ser qualquer coisa: números, pessoas, outros conjuntos, etc. Por exemplo, 4 é um número do conjunto dos inteiros. Como pode ser visto por este exemplo, os conjuntos podem ter um número infinito de elementos.
Se x é um membro de A, então também é dito que x pertence a A, ou que x está em A. Neste caso, escrevemos x ∈ A. (O símbolo "
" é derivado da letra grega épsilon, "ε", introduzida por Giuseppe Peano em 1888). O símbolo 
é às vezes usado para escrever x ∉ A, ou "x não pertence a A".
Os dois conjuntos A e B são iguais quando possuem precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de A é um elemento de B e cada elemento de B é um elemento de A. Um conjunto é completamente determinado por seus elementos; a descrição é imaterial. Por exemplo, o conjunto com os números 2, 3 e 5 é igual ao conjunto de todos os números primos menores que 6. Se A e B são iguais, então é representado simbolicamente por A = B (como de costume).
Também é permitido um conjunto vazio, muitas vezes representado por um 
: um conjunto sem membros. Já que um conjunto é determinado completamente por seus elementos, pode haver apenas um conjunto vazio.
Leitura adicional
- Paul R. Halmos, Teoria Ingênua dos Conjuntos, Ed. Ciência Moderna, 1ª edição - 2001.
- Edgar de Alencar Filho, Teoria Elementar dos Conjuntos, Livraria Nobel, 1970.
- Ernest Nagel e James R. Newman, Prova de Gödel, Ed. Perspectiva, 1973.
- Stephen Cole Kleene, Mathematical Logic, New York:John Wiley, 1967.