Teoria dos números

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Tradicionalmente, a teoria dos números é o ramo da matemática pura que se preocupa com as propriedades dos números inteiros e que envolve muitos problemas que são facilmente compreendidos mesmo por não-matemáticos. A disciplina veio a ocupar-se com uma classe mais vasta de problemas que surgiram naturalmente do estudo dos números inteiros. A teoria dos números pode ser subdividida em vários campos, de acordo com os métodos que são usados e das questões que são investigadas, a saber:

Teoria Elementar dos Números: utiliza somente os métodos elementares da aritmética para a verificação e comprovação das propriedades essenciais do conjunto dos números inteiros e em particular as propriedades dos números primos;
Teoria Analítica dos Números: utiliza a análise real e análise complexa, especialmente para estudar as propriedades dos números primos;
Teoria Algébrica dos Números: utiliza álgebra abstrata avançada (álgebra moderna) e estuda os números algébricos;
Teoria Geométrica dos Números: utiliza métodos geométricos, algébricos e analíticos;

Conteúdo

1 Sobre a Teoria Elementar dos Números

2 Propriedades dos números primos

2.1 Teorema de Euclides
2.2 Conjectura de Goldbach

3 Algoritmos eficientes para a aritmética básica

4 Equações diofantinas

Sobre a Teoria Elementar dos Números

Normalmente, o primeiro contacto com a Teoria dos Números é através da Teoria Elementar dos Números. Através desta disciplina podem ser introduzidas propriedades bastante interessantes e notáveis dos números inteiros, mas, que ao serem propostas como questões a serem resolvidas, ou teoremas a serem provados, são geralmente de difícil solução ou comprovação. Estas questões estão ligadas basicamente a três tipos de pesquisas, a saber:

Estudos específicos sobre as propriedades dos números primos;
Estudos envolvendo a pesquisa de algoritmos eficientes para a Aritmética Básica;
Estudos sobre a resolução de Equações Diofantinas;

Estas questões directamente ligadas ao estudo do Conjunto dos Números Inteiros e o seu subconjunto: o Conjunto dos Números Naturais.

A título de ilustração, alguns dos muitos problemas que podem ser focalizados nestas três áreas da Teoria Elementar dos Números são, a seguir, rapidamente comentados:

Propriedades dos números primos

Teorema de Euclides

"Existe uma quantidade infinita de números primos"

Conjectura de Goldbach

"Pode-se exprimir os números pares, maiores que 2, como a soma de dois números primos?" Esta é a denominada

formulada em 1746 e até hoje não provada, apesar de ter sido verificada para números da ordem de 4*10^14.

Quantos números primos terminam com o dígito 7? Seriam infinitos? São 664579 os números primos menores que 10 milhões, sendo que os números primos que terminam em 1, 3, 7 e 9 respectivamente são 166104, 166230, 166211 e 166032, isto corresponde a 24.99%, 25.01%, 25.01% e 24.98% deste total de números. O que isto sugere?

Há infinitos pares de números denominados primos gêmeos: números primos que diferem um do outro de apenas duas unidades, como (3 ; 5), (71 ; 73) ou (1000000007; 1000000009)?

Algoritmos eficientes para a aritmética básica

Muitas das modernas aplicações que estão sendo levadas a efeito no campo da criptografia (codificação destinada a gerar, armazenar ou até mesmo transmitir — por exemplo, por telefonia ou mais especificamente pela Internet) — informações secretas ou confidenciais de forma segura, dependem de algumas das propriedades dos números inteiros e dos números primos. No entanto as aplicações aritméticas envolvendo as propriedades dos números inteiros estão directamente relacionadas à capacidade de se resolver dois problemas fundamentais:

o problema do teste para verificar se o número é primo;
o problema da decomposição em fatores primos;

Aparentemente são problemas de simples solução, até que passem a envolver numerais com dezenas e até centenas de dígitos.

Equações diofantinas

Quando se procuram soluções inteiras (e às vezes racionais) para equações algébricas dos seguintes tipos:

$x 2 + y 2 = z 2$ , por exemplo, que possui infinitas soluções representadas pelas ternas ordenadas (x,y,z) conhecidas como Ternos ou Ternas pitagóricos, onde z é o lado maior de um triângulo retângulo – a hipotenusa, e x e y seus catetos: (3,4,5), (4,3,5), (12,5,13), (5,12,13), (24,7,25), (7,24,25), somente para citar alguns exemplos. Um conjunto de fórmulas podem facilitar a obtenção das Ternas Pitagóricas: z = p^2 + q^2, x = p^2 - q^2, y = 2*p*q, onde p e q são combinações de números inteiros positivos distintos, com p > q, como por exemplo: 2 e 1; 3 e 1; 3 e 2; 4 e 1; 4 e 2; 4 e 3. Verifique se este tipo de raciocínio continua valendo para: 5 e 1; 5 e 2; ...; 5 e 4; para 6 e 1; 6 e 2; etc. Há uma justificativa algébrica para tal fato? Este processo funcionará sempre?

$x n + y n = z n$ , que não possui soluções não nulas para n maior ou igual a 3 (ou seja para n > 2) que é justamente denominado o Último Teorema de Fermat - sobre o qual o matemático francês Pierre de Fermat (1601-1665) afirmou em uma pequena nota escrita na margem de uma página do um livro, exactamente ao lado daquela equação, possuir uma prova bastante simples para a mesma, mas que não poderia ser escrita ali, por absoluta falta de espaço. O matemático inglês Andrew Wiles finalmente em 1993, depois de ter usado uma vasta colectânea de novas técnicas e de muitas técnicas antigas da Teoria dos Números bem como tendo dispendido muito tempo de estudo e muitas e muitas folhas de papel para resolver este mistério, anunciou a prova deste Teorema, que havia permanecido, por mais de 300 anos, como um desafio para os mais habilidosos matemáticos.

$y 2 = x 3 + 17$ , que possui exatamente 8 soluções (x,y) onde x e y são números inteiros sendo que os valores de x são os seguintes: - 2;-1; 2; 4; 8; 43; 52, sendo que os valores de y podem ser facilmente encontrados, a partir destes. Aqui o difícil será mostrar que estas são as únicas soluções possíveis.

Equações algébricas que possibilitem calcular todos os números inteiros positivos que possam ser escritos como a soma de quatro quadrados perfeitos, como por exemplo: 47 = 36 + 9 + 1 + 1. Para "facilitar", os quadrados perfeitos podem ser repetidos, como no exemplo dado; pode-se ainda, adoptar o 0 como um quadrado perfeito, como em: 10 = 9 + 1 + 0 + 0 ao invés de 10 = 4 + 4 + 1 + 1.

Sabe-se que muitos números inteiros positivos não podem ser escritos desta forma, e é isto que torna solução deste problema bastante mais complexa. Este fato poderia motivar a seguinte pergunta: quantos são os números inteiros positivos menores que 10.000, que não podem ser escritos como a soma de quatro quadrados perfeitos? Este problema pode ser ainda apresentado como exigindo a utilização de apenas dois quadrados perfeitos ou utilizando três quadrados perfeitos. É evidente que agora, a solução tornar-se-ia ainda mais difícil.

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